几何题,求一点轨迹.
题目
几何题,求一点轨迹.
单位圆上一点P只在第一象限运动.过点P做切线与x、y轴分别相交于S、T两点.M是线段ST的中点,求M轨迹方程.我做的是1/x^2+1/y^2=1/4.椭圆
答案
单位圆:x^2+y^2=1
P(xp>0,yp>0),xp^2+yp^2=1
过P和圆心(0,0)的方程:y=yp*x/xp
因此,过点P的切线方程为:y-yp=-xp(x-xp)/yp
切线与x、y轴分别相交于S、T两点,则S(yp^2/xp+xp,0),T(0,yp+xp^2/yp)
M是线段ST的中点,M(x,y),则x=(yp^2/xp+xp)/2,y=(yp+xp^2/yp)/2
则yp^2+xp^2=2x*xp=1=2y*yp
则xp=1/(2x),yp=1/(2y)
所以xp^2+yp^2=1=1/(4x^2)+1/(4y^2)
所以M的轨迹方程为:1/x^2+1/y^2=4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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