求方程1/x+1/y=1/7的正整数解

题目

求方程1/x+1/y=1/7的正整数解
我是读初二的.

答案

1/x+1/y=1/7
x=1/(1/7-1/y)=7y/(y-7)
y-7能被7整除,即y除以7大于等于1,或y能被y-7整除,所以可以设
y=7n,或y=n(y-7)
(1)y=7n代入x=7y/(y-7)=7*7n/(7n-7)=7n/(n-1)
n=8,或n=2,y=56或14
(2)y=n(y-7),(n-1)y=7n,y=7n/(n-1)
因为n与n-1互质,所以只有n=2时n可以被n-1整除,另外7=n-1,即n=8时也符合要求
所以n=2时,y=14,n=8时,y=8
所以正整数解有3个：
y=8,14或56,
x=56,14,或8
答：x=56,y=8
或x=14,y=14
或x=8,y=56