以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O交BC于E,F是AC的中点,求证：EF是圆O的切线

题目

以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O交BC于E,F是AC的中点,求证：EF是圆O的切线

答案

【证法1：】
连接AE,OE
∵AB是直径
∴∠AEB=90º
∴∠AFC=90º,且F为AC的中点,即EF是Rt⊿AEC的中线
∴EF=½AC=CF
∴∠C=∠FEC
∵OB=OE
∴∠B=∠OEF
∵∠B+∠C=90º【⊿ABC是直角三角形】
∴∠OEB+∠CEF=90º
∴∠OEF=90º
∴EF是圆O的切线
【证法2：】
连接AE,OE
∵AB是直径
∴∠AEB=90º
∴∠AFC=90º,且F为AC的中点,即EF是Rt⊿AEC的中线
∴EF=½AC=AF
又∵OA=OE,OF=OF
∴⊿OAF≌⊿OEF（SSS）
∴∠OEF=∠OAF=90º
∴EF是圆O的切线