设A={x∈Z｜x²-px+15=0},B={x∈Z｜x²-5x+q=0},若A∪B={2,3,5}求A,B

题目

设A={x∈Z｜x²-px+15=0},B={x∈Z｜x²-5x+q=0},若A∪B={2,3,5}求A,B

答案

∵集合A、B的元素均为一元二次方程的解,可知A、B有两个元素
∴设集合A的元素为x1、X2,集合B的元素为x3、x4,
则A∪B={x1,x2,x3,x4},
x1、x2为x2-px+15=0的两根,则有x1+x2=P,x1*x2=15
由x1*x2=15可知,x1=3,x2=5或x1=1,x2=15,
又1、15￠A∪B={2,3,5},2、3∈A∪B={2,3,5}
∴x1=3,x2=5才是A的元素,即A={3,5}
则B必有一个元素为2,令x4=2
将x4=2代入x²-5x+q=0,故q=6
又x3+x4=5,x3=3
故x1=3,x2=5,x3=3,x4=5,
即有A={3,5},B={2,3}