如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点． （1）求证：AF∥平面BCE； （2）求证：平面BCE⊥平面CDE； （3）求平面BCE与平面ACD

题目

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．

（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

答案

（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）
又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE． …（4分）
（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，
∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE． …（6分）
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE． …（8分）
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），
建立空间直角坐标系F-xyz．设AC=2，
则C（0，-1，0），B(-

3

，0，1)，E(0，1，2)．…（9分）
设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，
则

n• CB =0，n• CE =0， - 3 x+y+z=0 2y+2z=0

令z=1，则n=（0，-1，1）．…（10分）
显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．
设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则cosα=

|m•n|

|m|•|n|

=

1

2

=

2

2

．
α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）

（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP∥DE，且FP=

1

2

DE，而AB∥DE，且AB=

1

2

DE则ABPF为平行四边形，则AF∥BP，AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；
（2）根据AB⊥平面ACD，DE∥AB，则DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，满足线面垂直的判定定理，证得AF⊥平面CDE，又BP∥AF，则BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F-xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据cosα＝

|m•n|

|m|•|n|

可求出所求．

本题考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

考点点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和利用空间向量定理二面角的平面角，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题．