某产品生产x单位产品时的总成本函数为C(x)=300+1/12x3−5x2+170x.每单位产品的价格是134元,求使利润最大时的产量.
题目
某产品生产x单位产品时的总成本函数为
C(x)=300+x
答案
由题意,生茶x单位产品时,总收益R(x)=134x,
利润为:L(x)=R(x)-C(x)=134x-(300+
x3−5x2+170x)
=-
x3+5x2-36x-300,其定义域为[0,+∞).
L′(x)=
−x2+10x-36=-
(x−36)(x−4),
令L′(x)=0,得x
1=4,x
2=36,
又∵
L(0)=−300,L(4)=−369,L(36)=996,
且当4<x<36时,L′(x)>0,即L(x)单调递增;当x>36时,L′(x)<0,即L(x)单调递减.∴L(36)=996是L(x)的最大值.
因此工厂生产36单位产品时有最大利润996元.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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