已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|（x∈R）． （1）证明：f（x）函数是偶函数； （2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后在给定的坐标系中画出函数图象； （3）写出函数

题目

已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|（x∈R）．

（1）证明：f（x）函数是偶函数；
（2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后在给定的坐标系中画出函数图象；
（3）写出函数的值域．

答案

证明：（1）因为函数y=f（x）的定义域为R，
且f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f（x），所以f（x）是偶函数；
（2）f(x)＝

−2x(x＜−1) 2(−1≤x≤1) 2x(x＞1)

（3）函数的值域为：[2，+∞）．

本题考查的是绝对值函数、分段函数、分段函数图象及函数求值域的问题．在解答时，可以先根据自变量的范围将绝对值函数转化为分段函数；再根据自变量的范围画出对应解析式在直角坐标系下的图象即可；最终利用函数的图象即可读出函数的值域．

本题考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．

考点点评：此题考查的是绝对值函数、分段函数、分段函数图象及函数求值域的问题．解答过程当中，去绝对值知识、分段函数画图知识、函数的奇偶性、函数的值域求解以及问题转化的思想都得到了充分的体现．值得同学们体会反思．