已知函数f(x)在R上有定义,且满足f(x)+xf(1-x)=x,求f(x)的表达式,求f(x)的值域

题目

已知函数f(x)在R上有定义,且满足f(x)+xf(1-x)=x,求f(x)的表达式,求f(x)的值域

答案

因为 f(x)+xf(1-x)=x,…………①
上式中把x用1-x替换,得：
f(1-x)+(1-x)*f(x)=1-x,…………②
上式两边同时乘以-x得：
-x*f(1-x)-x(1-x)*f(x)=x^2-x,…………③
①、③相加：(x^2-x+1)*f(x)=x^2,
因为(x^2-x+1)=(x-1/2)^2+3/4>0对∀x∈R成立,
所以f(x)=x^2/(x^2-x+1).