若函数f(tanx)=sin2x+sinxcosx+1,求f（x）的解析式

题目

若函数f(tanx)=sin2x+sinxcosx+1,求f（x）的解析式
由于上课这题用换元法回答错误,老师让我用换元法写一遍,答案是f(x)=（2x²+x+1）/(x²+1)

答案

答：
设t=tanx,sinx=tcosx
代入(sinx)^2+(cosx)^2=1有：
(t^2+1)(cosx)^2=1
(cosx)^2=1/(1+t^2)
所以：
f(tanx)=(sinx)^2+sinxcosx+1
f(t)=t^2/(1+t^2)+t(cosx)^2+1
=t^2/(1+t^2)+t/(1+t^2)+1
=(t^2+t+1+t^2)/(1+t^2)
所以：
f(x)=(2x²+x+1)/(x²+1)