已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B,点B在第一象限,|AB|=32. (Ⅰ)求点B的坐标; (Ⅱ)若直线l与双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标
题目
已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B,点B在第一象限,
|AB|=3.
(Ⅰ)求点B的坐标;
(Ⅱ)若直线l与双曲线C:
−y2=1(a>0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为(4,1),求a的值.
答案
(I)因为倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B,
所以直线AB方程为y=x-3.
设点B(x,y),
由题意可得:
,
因为x>0,y>0,
所以解得x=4,y=1,
所以点B的坐标为(4,1).
(II)由题意可得:联立直线与双曲线的方程
,
所以可得
(−1)x2+6x−10=0,
设E(x
1,y
1),F(x
2,y
2),
因为线段EF的中点坐标为(4,1),
所以x
1+x
2=
=8,
所以a=2.
(I)先设直线AB方程为y=x-3,设点B(x,y),由
及B在第一象限即可求出答案.
(II)先联立直线方程与双曲线方程,消元转化为:
(−1)x2+6x−10=0,再由韦达定理求解.
直线与圆锥曲线的关系.
本题主要考查直线与圆的位置关系,中点坐标公式与韦达定理以及两点间的距离公式.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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