若函数y=f(x)满足下列条件

题目

若函数y=f(x)满足下列条件
①对于任意的x∈R,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y)
②x∈（0,正无穷）时,f(X)∈（1,正无穷）
求证f(x-y)=f(x)/f(y) (f(y)≠0）

答案

由f(x+y)=f(x)f(y)
得f(-x)=f(x)f(-2x)
而f(-2x)=f(-x)f(-x)
代入上式得f(x)=1/f(-x)
f(x-y)=f(x)f(-y)
f(-y)=1/f(y)得到f(x-y)=f(x)/f(y)