高数 可积性的简单证明 设函数f（x）在区间[a,b]上可积,且存在 α＞0,使得对于任

题目

高数 可积性的简单证明 设函数f（x）在区间[a,b]上可积,且存在 α＞0,使得对于任
高数 可积性的简单证明
设函数f（x）在区间[a,b]上可积,且存在 α＞0,使得对于任意x属于[a,b],有f（x）＞=α,试证明：
（1）1／f（x）在[a,b]上可积
（2）lnf（x）在[a,b]上可积

答案

按照这样的分割,由于f(x)≥α>0,1/f(x)和lnf（x）的振幅ωi1,ωi2满足


或直接根据勒贝格定理
f（x）的间断点集

而1/f(x)和ln f(x)的间断点集和f(x)一致（f(x)≥α>0）