椭圆内三角形面积问题

题目

椭圆内三角形面积问题
过椭圆2x^2+y^2=2右焦点的直线交椭圆于A、B两点,求三角形AOB面积的最大值.

答案

椭圆2x^2+y^2=2
即y²/2+x²=1,焦点在y轴上
c²=a²-b²=2-1=1
上焦点为F(0,1)
设AB：y=kx+1
代入2x^2+y^2=2
2x²+(kx+1)²=2
即(k²+2)x²+2kx-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-2k/(k²+2)
x1x2=-1/(k²+2)
∴|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2
=4k²/(k²+2)²+4/(k²+2)
=(4k²+4k²+8)/(k²+2)²
=8(k²+1)/[(k²+1)+1]²
=8(k²+1)/[(k²+1)²+2(k²+1)+1]
=8/[(k²+1)+1/(k²+1)+2]
根据均值定理
（k²+1)+1/(k²+1)≥2
当k²+1=1/(k²+1),即k=0时,取等号
∴[(k²+1)+1/(k²+1)+2]≥4
8/[(k²+1)+1/(k²+1)+2]≤2
即|x1-x2|≤√2
∴三角形AOB面积
S=1/2*|OF|*|x1-x2|
≤1/2*√2=√2/2
即三角形AOB面积的最大值为√2/2