非齐次线性方程组的向量证明题

题目

非齐次线性方程组的向量证明题
2.设η是非齐次线性方程组Ax=b的任意一个解,ξ1,ξ2 … ξm 是其相伴方程组Ax=0的任意m个线性无关的解,证明：η,ξ1+η,ξ2+η … ξm+η 一定线性无关

答案

设η,ξ1+η,ξ2+η … ξm+η线性相关
则η=k1（ξ1+η）+k2（ξ2+η ）+.+km（ξm+η）
η=（k1+k2+.+km）η+（k1ξ1+k2ξ2+.+kmξm）
有因为ξ1,ξ2 … ξm 是其相伴方程组Ax=0的任意m个线性无关的解
所以k1ξ1+k2ξ2+.+kmξm=0
且k1=k2=.=km=0
所以η=0与η是非齐次线性方程组Ax=b的任意一个解不符
所以线性无关