求函数在孤立奇点（包括无穷远点）处的留数

题目

求函数在孤立奇点（包括无穷远点）处的留数
1/[z*(e^z-1)]

答案

首先,可知e^z-1的零点集合为{ 2kπi | k为整数},且易见这些零点都是1阶的.
而z有唯一的零点z = 0,且显然是1阶零点.
于是,f(z) = 1/(z(e^z-1))的在复平面上极点集合也是{ 2kπi | k为整数},
其中z = 0为2阶极点,其余点均为1阶极点.
由e^x在x = 0处的幂级数展开易知:当x → 0时,有(e^x-1)/x → 1,(e^x-1-x)/x² → 1/2.
于是当z → 2kπi时,设x = z-2kπi可得(e^z-1)/(z-2kπi) = (e^x-1)/x → 1.
进而对k ≠ 0,有(z-2kπi)f(z) = 1/z·(z-2kπi)/(e^z-1) → 1/(2kπi)·1 = 1/(2kπi).
因此f(z)在z = 2kπi (k ≠ 0)处的留数为1/(2kπi).
而当z → 0时,有z²f(z) = z/(e^z-1) → 1,可知z = 0作为f(z)-1/z²的极点阶数小于2.
又z(f(z)-1/z²) = 1/(e^z-1)-1/z = (z-e^z+1)/(z(e^z-1)) = -(e^z-1-z)/z²·z/(e^z-1) → -1/2,
可知z = 0作为f(z)-1/z²+1/(2z)的极点阶数小于1,即为可去奇点.
这说明f(z)在z = 0处的Laurent展开的主部为1/z²-1/(2z),
因此f(z)在z = 0处的留数为-1/2.
最后,由于2kπi都是f(z)的极点,因此无穷远点不是f(z)的孤立奇点.
注:对z = 0处留数的求法可能不太常规(只是个人偏好这种方法).
较为常规的做法大概是用lim{z → 0} (z²f(z))'来求.