已知三角形abc,p为三角形内一点,过p作pd垂直bc,pe垂直ac,pf垂直ab,三角形abc的高h,求证pd+pe+pf=h

题目

已知三角形abc,p为三角形内一点,过p作pd垂直bc,pe垂直ac,pf垂直ab,三角形abc的高h,求证pd+pe+pf=h

答案

连结AP,BP,CP
设等边三角形的边长是a,面积是S
则S=S(ABP)+S(BCP)+S(CAP)
=(1/2)×AB×PD+(1/2)×BC×PE+(1/2)×CA×PF
=(a/2)×PD+(a/2)×PE+(a/2)×PF
=(a/2)×(PD+PE+PF)
所以PD+PE+PF=2S/a 2S/a=h
所以PD+PE+PF=h