已知定点A(2,0),P点在圆x2+y2=1上运动,∠AOP的平分线交PA于Q点,其中O为坐标原点,求Q点的轨迹方程.

已知定点A(2,0),P点在圆x2+y2=1上运动,∠AOP的平分线交PA于Q点,其中O为坐标原点,求Q点的轨迹方程.

题目
已知定点A(2,0),P点在圆x2+y2=1上运动,∠AOP的平分线交PA于Q点,其中O为坐标原点,求Q点的轨迹方程.
答案
在△AOP中,∵OQ是ÐAOP的平分线
|AQ|
|PQ|
|OA|
|OP|
2
1
=2

设Q点坐标为(x,y);P点坐标为(x0,y0
x=
2+2x0
1+2
y=
0+2y0
1+2
x0
3x−2
2
y0
3
2
y

∵P(x0,y0)在圆x2+y2=1上运动,∴x02+y02=1
(
3x−2
2
)2+(
3
2
y)2=1

(x−
2
3
)2+y2
4
9

此即Q点的轨迹方程.
设点Q的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),由三角形内角平分线定理写出方程组,解出x0和y0,代入已知圆的方程即可.此求轨迹方程的方法为相关点法.

轨迹方程.

本题考查相关点法求轨迹方程.在用此法时,注意要将要求的动点坐标设为(x,y),最后求得的x与y的关系式即为所求.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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