如图,A,B,C在同一直线上,且△ABD,△BCE都是等边三角形,AE交BD于F,CD交于G. (1)求证:AE=CD; (2)求证:△BFG是等边三角形.

如图,A,B,C在同一直线上,且△ABD,△BCE都是等边三角形,AE交BD于F,CD交于G. (1)求证:AE=CD; (2)求证:△BFG是等边三角形.

题目
如图,A,B,C在同一直线上,且△ABD,△BCE都是等边三角形,AE交BD于F,CD交于G.

(1)求证:AE=CD;
(2)求证:△BFG是等边三角形.
答案
证明:(1)∵△ABD,△BCE都是等边三角形,
∴∠ABD=∠CBE═60°,AB=DB,CB=EB.
∴∠ABD+∠EBD=∠CBE+∠DBE,
即∠ABE=∠DBC.
∵A,B,C在同一直线上,
∴∠ABC=180°,
∴∠DBE=60°.
∴∠ABD=∠EBD.
在△AEB和△DCB中,
AB=DB
∠ABE=∠DBC
CB=EB

∴△AEB≌△DCB(SAS),
∴AE=CD.
(2)∵△AEB≌△DCB,
∴∠EAB=∠CDB.
在△DBG和△ABF中,
∠EAB=∠CDB
AB=DB
∠DBE=∠ABF

∴△DBG≌△ABF(ASA),
∴BG=BF.
∵∠DBE=60°,
∴△BFG是等边三角形.
(1)根据等边三角形的性质就可以得出△AEB≌△DCB,就可以得出结论;
(2)通过证明△DBG≌△ABF,就可以得出BG=BF,由∠DBE=60°就可以得出结论.

全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.

本题考查了等边三角形的性质的运用,全等三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用.解答时证明三角形全等是关键.

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