已知x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd为奇数,求证：这个多想是不能表示为两个整系数的多项式的乘积.

题目

已知x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd为奇数,求证：这个多想是不能表示为两个整系数的多项式的乘积.

答案

假设多项式能分解为两个整系数多项式的乘积
即假设x^3+bx^2+cx+d=(x+l)(x^2+mx+n)；l.m.n是整数
那么原式＝x^3+(m+l)x^2+(lm+n)x+ln
那么m+l=b;lm+n=c;ln=d;
由题意:bd+cd=(b+c)d是奇数 => b+c是奇数并且d是奇数；
那么ln=d; => l是奇数并且n是奇数;
那么b+c=m+l+lm+n=m(l+1)+(l+n)中；(l+1)和(l+n)是偶数
那么b+c也是偶数
这于题意相互矛盾；所以假设不成立 =>l.m.n不是整数；
即这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积