在三角形ABC中,角A,B,C的边分别对应为a,b,c,且ba=Sin2CSinA.若b=2,B≤∏3≤C,求三角形ABC面积的最

题目

在三角形ABC中,角A,B,C的边分别对应为a,b,c,且ba=Sin2CSinA.若b=2,B≤∏3≤C,求三角形ABC面积的最

答案

（1）由b/(a-b)=sin2C/(sinA-sin2C)有(a-b)/b=(sinA-sin2C)/sin2C即a/b-1=sinA/sin2C-1即a/b=sinA/sin2C（I）又由正弦定理知a/sinA=b/sinB即a/b=sinA/sinB（II）比较（I）（II）有sinB=sin2C于是有B=2C或B=π-2C若B=2C而A+B+C=π则A+3C=π因π/3<C<π/2则π<3C<3π/2显然A+3C>π,矛盾所以B=π-2C即B+2C=π又A+B+C=π则B+2C=A+B+C即A=C注意到π/3<C<π/2表明△ABC为等腰锐角三角形（2）以下有向线段表示向量因|BA+BC|=4则|BA+BC|^2=16即(BA+BC)^2=16即BA^2+BC^2+2BA*BC=16即|BA|^2+|BC|^2+2BA*BC=16而由A=C易知|BA|=|BC|则|BA|^2+BA*BC=8（III）而由向量数量积得BA*BC=|BA||BC|cosB=|BA|^2cosB则有|BA|^2=8/(1+cosB)（IV）因π/3<C<π/2,A=C则2π/3<A+C<π而A+B+C=π则0<B<π/3于是1/2<cosB<1即有3/2<1+cosB<2即有1/2<1/(1+cosB)<2/3所以由（IV）有4<|BA|^2<16/3又由（III）知BA*BC=8-|BA|^2所以8/3<BA*BC<4