求两柱面x^2+y^2=R^2及x^2+z^2=R^2所围立体的表面积.(是表面积!不是体积!)

题目

求两柱面x^2+y^2=R^2及x^2+z^2=R^2所围立体的表面积.(是表面积!不是体积!)

答案

根据题意分析知,所求表面积是由4个表面积相等的曲面构成.
其中一个表面积S=∫∫ds (z=√(r²-x²),D：x²+y²=r²)
∵αz/αx=-x/√(r²-x²),αz/αy=0
∴ds=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=[r/√(r²-x²)]dxdy
则 S=∫∫ds
=∫∫[r/√(r²-x²)]dxdy
=4r∫dθ∫ρdρ/√(r²-ρ²cos²θ) (作极坐标变换)
=-2r∫dθ∫d(r²-ρ²cos²θ)/[cos²θ√(r²-ρ²cos²θ)]
=4r∫[(r-rsinθ)/cos²θ]dθ
=4r²∫(sec²θ-sinθ/cos²θ)dθ
=4r²(tanθ-secθ)│
=4r²(0+1)
=4r²
故 所求表面积=4S=4(4r²)=16r².