A为实对称矩阵,并且A^3-6A^2+11A-6E=0,试证A为正定矩阵

题目

A为实对称矩阵,并且A^3-6A^2+11A-6E=0,试证A为正定矩阵

答案

证明: 设a是A的特征值
则 a^3-6a^2+11a-6 是 A^3-6A^2+11A-6E=0 的特征值
所以 a^3-6a^2+11a-6 = 0
即 (a-1)(a-2)(a-3)=0
所以 a=1 或 a=2 或 a=3.
即A的特征值都大于0.
所以A是正定矩阵.
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