若f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1 在区间(0,4)上单调,求k的取值范围
题目
若f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1 在区间(0,4)上单调,求k的取值范围
答案
f'(x)=3x[kx-2(k+1)]在区间(0,4)上同号,
<==>g(x)=kx-2(k+1)在区间(0,4)上同号,①
==>g(0)*g(4)>=0.
当g(0)*g(4)=-2(k+1)(2k-2)>0,
(k+1)(k-1)<0,-1k=1时g(x)=x-4,k=-1时g(x)=-x,①都成立.
综上,k的取值范围是[-1,1].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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