α、β是关于x的方程x²-mx+m²+3/4m-3/2=0的两个实根,求α²+β²的最小值和最大值

题目

α、β是关于x的方程x²-mx+m²+3/4m-3/2=0的两个实根,求α²+β²的最小值和最大值

答案

∵α+β=m α·β= m²+3/4m-3/2
△＝b²-4ac=m²-4﹙m²+3/4m-3/2﹚﹥0
∴-2＜m＜1
∴α²+β²=﹙α+β﹚²－2αβ
＝m²-2﹙m²+3/4m-3/2﹚
＝-m²-3/2m+3
＝-﹙m+3/4﹚²+3+9/16
又∵- 2＜m＜1 ∴ - 5/4＜m+3/4 ＜7/4
∴0≤﹙m+3/4﹚²＜49/16
∴1/2＜－﹙m+3/4﹚²+3+9/16＜57/16 即知 最大值和最小值