已知数列{an}的前项和为sn，且sn+1=4an+2（n∈N+），a1=1，． （1）设bn=an+1-2an，求b1并证明数列{bn}为等比数列； （2）设cn=an2n，求证{cn}是等差数列．

题目

已知数列{a_n}的前项和为s_n，且s_n+1=4a_n+2（n∈N⁺），a₁=1，．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求b₁并证明数列{b_n}为等比数列；
（2）设c_n=

an

2n

，求证{c_n}是等差数列．

答案

（1）∵a1=1，s2=4a1+2，得a2=s2-a1=3a1+2=5，∴b1=5-2=3，由sn+1=4an+2，得sn+2=4an+1+2，两式相减得sn+2-sn+1=4（an+1-an），即an+2=4（an+1-an），亦即an+2-2an+1=2an+1-4an∵bn=an+1-2an，∴bn+1=2bn∴bn+1bn＝2...

（1）利用数列的递推，分别表示出s_n+1和s_n+2，两式相减，整理可得a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n，进而把b_n代入求得

bn+1

bn

＝2推断出{b_n}为首项为3，公比为2的等比数列．
（2）通过（1）利用等比数列的通项公式求得b_n，然后利用b_n=a_n+1-2a_n，整理出cn+1−cn＝

3

4

判断出数列{c_n}是等差数列．

本题考点：等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题主要考查了数列的递推式，等比数列和等差数列的性质．考查了基础知识的综合运用．