已知数列{an}的前项和为sn,且sn+1=4an+2(n∈N+),a1=1,. (1)设bn=an+1-2an,求b1并证明数列{bn}为等比数列; (2)设cn=an2n,求证{cn}是等差数列.

已知数列{an}的前项和为sn,且sn+1=4an+2(n∈N+),a1=1,. (1)设bn=an+1-2an,求b1并证明数列{bn}为等比数列; (2)设cn=an2n,求证{cn}是等差数列.

题目
已知数列{an}的前项和为sn,且sn+1=4an+2(n∈N+),a1=1,.
(1)设bn=an+1-2an,求b1并证明数列{bn}为等比数列;
(2)设cn=
an
2n
,求证{cn}是等差数列.
答案
(1)∵a1=1,s2=4a1+2,得a2=s2-a1=3a1+2=5,∴b1=5-2=3,由sn+1=4an+2,得sn+2=4an+1+2,两式相减得sn+2-sn+1=4(an+1-an),即an+2=4(an+1-an),亦即an+2-2an+1=2an+1-4an∵bn=an+1-2an,∴bn+1=2bn∴bn+1bn=2...
(1)利用数列的递推,分别表示出sn+1和sn+2,两式相减,整理可得an+2-2an+1=2an+1-4an,进而把bn代入求得
bn+1
bn
=2
推断出{bn}为首项为3,公比为2的等比数列.
(2)通过(1)利用等比数列的通项公式求得bn,然后利用bn=an+1-2an,整理出cn+1cn
3
4
判断出数列{cn}是等差数列.

等差数列与等比数列的综合.

本题主要考查了数列的递推式,等比数列和等差数列的性质.考查了基础知识的综合运用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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