在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且a+c=3，tanB=73，则△ABC的面积为 _ ．

题目

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且a+c=3，tanB=

7

3

，则△ABC的面积为 ___ ．

答案

在△ABC中，∵tanB=

7

3

，∴B为锐角，且sinB=

7

4

，cosB=

3

4

．
∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，再由余弦定理可得 b²=a²+c²-2accosB，
即 ac=（a+c）²-2ac-

3ac

2

=9-

7ac

2

，∴ac=2．
则△ABC的面积为

1

2

ac•sinB=

7

4

，
故答案为

7

4

．

利用同角三角函数的基本关系求出sinB 和 cosB 的值，根据a，b，c成等比数列，可得 b2=ac，再由余弦定理求出ac的值，由△ABC的面积为 12ac•sinB，运算求得结果．

本题考点：解三角形；等比数列；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，等比数列的定义和性质，求出ac=2，是解题的关键．