一道高二函数数列综合题
题目
一道高二函数数列综合题
方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)=x/a(x+2)有唯一不动点,且x1=1000,x(n+1)=1/f(1/xn),n=1,2,3… 求x2011的值
注:f(x)的括号x代表自变量,x(n+1)以及xn代表数列中的第n+1项和第n项
答案
依题意,方程f(x)=x 即方程ax²+x(2a-1)=0有唯一解
显然a≠0
所以2a-1=0 a=1/2
∴f(x)=2x/x+2
∴xn+1=1/f(1/xn)=xn+1/2
∴xn+1-xn=1/2
∴数列{xn}是以1000为首项,1/2为公差的等差数列
∴xn=1000+1/2(n-1)
令n=2011
得x2011=1000+1005=2005
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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