用n个三角形最多可以将平面分成[2+3n(n-1)]部分,试证明?

题目

用n个三角形最多可以将平面分成[2+3n(n-1)]部分,试证明?

答案

证法1：
设n个三角形最多将平面分成an个部分.
n=1时,a1=2；
n=2时,第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点,三条边与第一个三角形最多有2×3=6（个）交点.这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段,这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分,从而平面也增加了6个部分,即a2＝2＋2×3.
n＝3时,第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3＝12（个）交点,从而平面也增加了12个部分,即： a3=2＋2×3＋4×3.
……
一般地,第n个三角形与前面（n-1）个三角形最多有2（n-1）×3个交点,从而平面也增加2（n－1）×3个部分,故
an=2＋2×3＋4×3＋…＋2（n-1）×3
＝2＋〔2＋4＋…＋2（n-1）〕×3
＝2＋3n（n-1）＝3n^2-3n＋2.
证法2：
1个三角形把平面分成2部分
第二个三角形和第一个三角形最多有6个交点,最多可以分成8个平面,增加了6个
第三个三角形和前两个三角形每一个最多都能有6个交点,一共多了2x6=12个交点,平面就能多2x6=12个
以此类推,第N个三角形可以把平面最多分成：
2+1x6+2x6+3x6+.+(n-1)x6
=2+6x(1+2+3+.+(n-1))
=2+3n(n-1)