已知椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 =1上的一点,F1,F2是两焦点,P到两准线的距离分别为10和8,且角F1PF2=60度,求此椭圆的方程
题目
已知椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 =1上的一点,F1,F2是两焦点,P到两准线的距离分别为10和8,且角F1PF2=60度,求此椭圆的方程
答案
根据椭圆第二定义PF/(P到准线的距离)=e
PF1/8=e PF2/10=e PF1=8e PF2=10e F1F2=4c 三角形PF1F2有余玄定理得:
(2c)^2=(8e)^2+(10e)^2-2×(8e)(10e)COS60 得到a^2=21
准线间距离为2a^2/c所以2a^2/c=8+10 得 c=7/3 所以b^2=21-49/9=140/9
又因为上面计算过程中没有确定长短轴故答案有两个:
x^2/21 + y^2/(140/9) =1 (焦点在X轴上的椭圆)
或
x^2/(140/9)+ y^2/21=1(焦点在Y轴上的椭圆)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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