设A(-2,√3),F为椭圆3x^2+4y^=48的右焦点,点P在椭圆上移动,当|AP|+2|PF|取最小值时,点P的坐标

题目

设A(-2,√3),F为椭圆3x^2+4y^=48的右焦点,点P在椭圆上移动,当|AP|+2|PF|取最小值时,点P的坐标

答案

先化成标准形式 x^2/16 +y^2/12 =1 ;a=4; c=2
易知 A(-2,√3),在椭圆内 P往其右准线引垂线,垂足为H
A 往右准线引垂线,垂足为K
可知 PF/PH = e = 1/2 所以 2PF = PH
等价于求 AP+PH最小值!
AP +PH≥ AH≥ AK,当P为线段 AK与椭圆交点时候取最小值
此时 P 纵坐标 √3,可知 P (2√3,√3)