设关于x一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2,我们称函数y=m(a1x+b1)+n(a2x+b2)(其中m+n=1)为这两个函数的生成函数. (1)请你任意写出一个y=x+1与y=3x-1的生成
题目
设关于x一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2,我们称函数y=m(a1x+b1)+n(a2x+b2)(其中m+n=1)为这两个函数的生成函数.
(1)请你任意写出一个y=x+1与y=3x-1的生成函数的解析式;
(2)当x=c时,求y=x+c与y=3x-c的生成函数的函数值;
(3)若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P(a,5),当a1b1=a2b2=1时,求代数式m(a12a2+b12)+n(a22a2+b22)+2ma+2na的值.
答案
(1)答案不唯一.比如取m=2时,n=-1.
生成函数为y=2(x+1)-(3x-1)=-x+3,即y=-x+3.…(1分)
(2)当x=c时,y=m(x+c)+n(3x-c)=2c(m+n).…(2分)
∵m+n=1,
∴y=2c(m+n)=2c.…(3分)
(3)∵点 P (a,5)在y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象上,
∴a1a+b1=5,a2a+b2=5.…(4分)
∴a12a2+b12=( a1a+b1)2-2 aa1b1=52-2 aa1b1,a22a2+b22=(a2a+b2)2-2aa2b2=52-2aa2b2.
当 a1b1=a2b2=1时,
m(a12a2+b12)+n (a22a2+b22)+2ma+2na=m (52-2a )+n(52-2a)+2ma+2na=25(m+n).
∵m+n=1,
∴m(a12a2+b12)+n(a22a2+b22)+2ma+2na=25(m+n)=25.…(6分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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