平面内一条直线把平面分成2部分,2条相交直线把平面分成4部分,1个交点;3条相交直线最多把平面分成7部分,3个交点;试猜想:n条相交直线最多把平面分成n2+n+22n2+n+22部分,n(n−1)2n
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平面内一条直线把平面分成2部分,2条相交直线把平面分成4部分,1个交点;3条相交直线最多把平面分成7部分,3个交点;试猜想:n条相交直线最多把平面分成n2+n+22n2+n+22部分,n(n−1)2n
题目
平面内一条直线把平面分成2部分,2条相交直线把平面分成4部分,1个交点;3条相交直线最多把平面分成7部分,3个交点;试猜想:n条相交直线最多把平面分成
n2+n+2
2
n2+n+2
2
部分,
n(n−1)
2
n(n−1)
2
个交点.
答案
1条直线,将平面分为两个区域;
2条直线,较之前增加1条直线,增加1个交点,增加了2个平面区域;
3条直线,与之前两条直线均相交,增加2个交点,增加了3个平面区域;
4条直线,与之前三条直线均相交,增加3个交点,增加了4个平面区域;
…
n条直线,与之前n-1条直线均相交,增加n-1个交点,增加n个平面区域;
所以n条直线分平面的总数为1+(1+2+3+4+5+6+7+8+…n)=
n2+n+2
2
,
所以共有1+2+3+4+5+6+7+8+…n-1=
n(n−1)
2
,
答案为
n2+n+2
2
,
n(n−1)
2
.
举一反三
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