f(x)=kx,g(x)=Inx/x,如果关于x的方程f(x)=g(x)在区间[1/e,e]内有两个实数解,求k的取值范围

题目

f(x)=kx,g(x)=Inx/x,如果关于x的方程f(x)=g(x)在区间[1/e,e]内有两个实数解,求k的取值范围

答案

依题意kx=lnx／x,k=lnx／x＾2（x∈[1／e,e]）解的个数问题,
设h（x）=lnx／x＾2,（x∈[1／e,e]）.h′（x）=1-2lnx／x＾3,令h′（x）=0,
解得x=x09根号e,∴h（x）在[1／e,根号 e）上递增,在（根号 e,e]上递减.h（1／e）=-e²,h（x09根号e）=1／2e,h（e）=1/e^2
.所以当k＞1/2e或k＜-e²,没解；
当k=1/2e或-e²≤k＜1/e^2,有一个解；
当1/e^2≤k＜1/2e,有两解.