已知函数f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线． （ I）求实数a，b，c的值； （ II）设函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单

题目

已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．
（ I）求实数a，b，c的值；
（ II）设函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单调区间．

答案

（ I）由题设知：

f(2)＝0 g(2)＝0 f′(2)＝g′(2)

⇒

16+2a＝0 4b+c＝0 24+a＝4b

⇒

a＝−8 b＝4 c＝−16

实数a，b，c的值分别为：-8，4，-16．
（ II）F（x）=2x³+4x²-8x-16F′（x）=6x²+8x-8
令F′（x）=6x²+8x-8＞0得x＞

2

3

或x＜-2
令F′（x）=6x²+8x-8＜0得−2＜x＜

2

3

所以F（x）递增区间为(−∞，−2)，(

2

3

，+∞)
递减区间为(−2，

2

3

)．

（I）欲求实数a，b，c的值，只须求出切线斜率的值，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用斜率相等及都过点P列出等量关系，从而问题解决．
（II）欲求函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单调区间，利用导数来解决．先求出F（x）的导数，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可．

本题考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．