甲、乙两个自然数的和是80，这两个数的最小公倍数与最大公因数的差也是80，这两个数相乘的积是 _ ．

题目

答案

设甲乙两数的最大公因数为p，
甲数为pm，乙数为pn，m、n互质，则两数的最小公倍数为 pmn，
于是得pm+pn=80，整理是P（m+n）=80，
pmn-p=80，整理是P（mn-1）=80，

p(mn−1)

P(m+n)

=1，
整理是mn-1=m+n，
mn-1-m-n=0，
两边同时加上2得：mn-n-m+1=2，
整理n（m-1）-m+1=2，
整理n（m-1）-（m-1）=2，
整理（m-1）（n-1）=2×1，
解得m-1=2，n-1=1；或n-1=2，m-1=1，
结果m=2，n=3，或m=3，n=2．
把结果代入p×（2+3）=80，解得p=16，
一个数是：16×2=32，
另一个数是：16×3=48，
两数乘积为：32×48=1536
故答案为：1536．