钝角三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边BC＝23，求sinB+sinC的取值范围．

题目

钝角三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边BC＝2

3

，求sinB+sinC的取值范围．

答案

∵钝角三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边BC＝23，由正弦定理可得 BCsinA＝2R＝4，解得sinA=32，故A=2π3．由于 sinB+sinC=sinB+sin（π3-B）=12sinB+32cosB=sin（B+π3 ）， π3＜B+π3＜2π3，∴32＜si...

由条件利用正弦定理求得sinA=

3

2

，可得A=

2π

3

．再由sinB+sinC=sin（B+

π

3

）及

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，求得

3

2

＜sin（B+

π

3

）≤1，从而求得sinB+sinC的取值范围．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．