证明当x→0时有√1+x^2-√1-x^2～x^2

题目

证明当x→0时有√1+x^2-√1-x^2～x^2

答案

要证两者等价,只需证明
lim [√(1+x²)-√(1-x²)]/x²
=lim 2x²/{x²[√(1+x²)+√(1-x²)]}
=lim 2/[√(1+x²)+√(1-x²)]
=2/2=1
所以当x→0时,有√(1+x²)-√(1-x²)~x²