在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=60°,P为下底BC上一点,连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B
题目
在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=60°,P为下底BC上一点,连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B
1.求证△ABP∽△PCE;
2.求等腰梯形的腰AB的长;
3.在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3.如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由.
答案
等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B
(1) 求证:△ABP∽△PCE;
(2) 求梯形的腰AB的长;
(3) 在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3;如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.
(1) 证明:
由∠APC为△ABP的外角得,∠APC=∠B+∠BAP,
又∵∠B=∠APE,
∴∠EPC=∠BAP.
又∵∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCE
过A作AF⊥BC于F,由已知ABCD为等腰梯形,AD=3,BC=7.
知BF=(7-3)/2=2cm.
在Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2cm,
∴AB=4cm.
(3)存在这样的点P,理由如下:
由DE:EC=5:3,DE+EC=DC=4,得EC=(3/2)cm
设BP=x,则PC=7-x,由△ABP∽△PCE得AB/PC=BP/EC,,即
4/(7-x)=x/(3/2),
x^2-7x+6=0,
(x-1)(x-6)=0
解得x=1或 x=6.都符合题意,
∴BP=1cm或6cm.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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