∫1+2x²/x²（1+x²)dx解题过程

题目

∫1+2x²/x²（1+x²)dx解题过程

答案

∫(1+2x²)/[x²(1+x²)] dx
=∫[(1+x²)+x²]/[x²(1+x²)] dx
=∫(1/x²) dx + ∫1/(1+x²) dx
=-1/x + arctanx + C
∫1/x² dx = ∫x^-2 dx = x^(-2+1)/(-2+1) = -x^(-1) = -1/x,利用积分公式∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1),这里n=-2
关于(1+2x²)/[x²(1+x²)]
=[(1+x²)+x²]/[x²(1+x²)],将2x²拆分为x²+x²
=(1+x²)/[x²(1+x²)] + x²/[x²(1+x²)],将分子分母的相同项约掉
=1/x² + 1/(1+x²)
注意∫1/(1+x²) dx = arctanx + C,反正切函数,这是一个公式