如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB，交AD于G，GF∥BC交AB于F，求证：AE=BF．

题目

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB，交AD于G，GF∥BC交AB于F，求证：AE=BF．

答案

证明：如图，
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△BAC中，∠B+∠BCA=90°．
∵AD⊥BC与点D，
∴在Rt△ADC中，∠DAC+∠BCA=90°，
∴∠B=∠DAC，
过点G作GH∥AB，
又∵GF∥BC，
∴四边形BHGF为平行四边形，
∴BF=GH，∠B=∠GHD，
∴∠GHD=∠DAC，
在△ACG和△HCG中

∠ACG＝∠HCG CG＝CG ∠CAG＝∠CHG

，
∴△ACG≌△HCG（AAS），
∴AG=GH，
∴BF=AG．
∵∠AGE=∠CGD，
在Rt△CDG中，∠CGD+∠GCD=90°，
∴∠AGE+∠GCD=90°．
又∵在Rt△CAE中，∠ACG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AE=AG，
∵BE=AG，
∴AE=BF．

根据余角的性质，可得∠B=∠7的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得BF=GH，∠B=∠6，根据全等三角形的判定与性质，可得AG与GH的关系，根据余角的性质，∠3与∠5的关系，根据等腰三角形的判定，可得AE与AG的关系，根据等量代换，可得答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行四边形的判定与性质运用的知识较多，题目有一定难度．