已知F是抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA•OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 _ .

已知F是抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA•OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 _ .

题目
已知F是抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,
OA
OB
=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 ___ .
答案
设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),
x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,根据韦达定理有y1•y2=-m,
OA
OB
=2,∴x1•x2+y1•y2=2,从而(y1•y22+y1•y2-2=0,
∵点A,B位于x轴的两侧,
∴y1•y2=-2,故m=2.
不妨令点A在x轴上方,则y1>0,
又F(
1
4
,0),
∴S△ABO+S△AFO=
1
2
×2×(y1-y2)+
1
2
×
1
4
y1=
9
8
y1+
2
y1
≥3
当且仅当
9
8
y1=
2
y1
,即y1=
4
3
时,取“=”号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,
故答案为:3.
先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及
OA
OB
=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.

抛物线的简单性质.

求解本题时,应考虑以下几个要点:
1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式.
2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高.
3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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