对于集合A,B,证明A∪B=A∩B是A=B的充要条件

题目

对于集合A,B,证明A∪B=A∩B是A=B的充要条件

答案

A∩B=B→A∪B=A
任取a∈A
∴a∈A∪B
∴A包含于A∪B；
任取a∈A∪B,
a∈A或a∈B
若a∈B,则a∈A∩B,则a∈A,
∴A∪B包含于A,
∴A=A∪B
证：A∩B包含于B
证：B包含于A∩B
任取a∈B,则a∈A∪B,即a∈A,
∴a∈B,且a∈A∴a∈A∩B
∴B包含于A∩B
∴B=A∩B
综上所述,即所证.