△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B．

题目

△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a²=b（b+c），求证：A=2B．

答案

证明：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a²=b（b+c）中，
得sin²A=sinB（sinB+sinC）
∴sin²A-sin²B=sinBsinC
∴

1−cos2A

2

-

1−cos2B

2

=sinBsin（A+B）
∴

1

2

（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，
所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．
所以只能有A-B=B，即A=2B．