如何证明三次根的均值不等式?

题目

如何证明三次根的均值不等式?
即 a+b+c>=3(abc)^(1/3)?
如何推广至 n次方根的呢?

答案

设x^3=a,y^3=b,z^3=c因为x^3+y^3+z^3+xyz>=2(x^3*y^3)^(1/2)+2(z^3*zyx)^(1/2)>=4xyz所以x^3+y^3+z^3>=3xyz即a+b+c>=3(abc)^(1/3)n维：(X1+X2+……Xn)/n>=(X1*X2*……*Xn)^(1/n)