求曲线y=ln(1+x)及其通过点(-1,0)处的切线与X轴所围成的平面图形的面积

题目

求曲线y=ln(1+x)及其通过点(-1,0)处的切线与X轴所围成的平面图形的面积

答案

曲线 y=ln(x+1) 的切线斜率为：y'=1/(1+x),若切点是 [m,ln(1+m)],则切线可表示为：
y-ln(1+m)=(x-m)/(1+m)；
因切线过 (-1,0) 点,将该点坐标代入切线方程：0-ln(1+m)=(-1-m)/(1+m)=-1,∴ m=e-1；
得切线正式方程：y=(x+1)/e,切点 (e-1,1)；
曲线 y=ln(x+1) 与 x 轴交点坐标(0,0)；
曲线、切线及 x 轴所围图形面积S=∫(y=0→1} [(-1+e^y)-(e*y-1)] dy……（x 从切线变到曲线）；
积分得 S==∫(y=0→1} (e^y-e*y)dy=(e^y-ey²/2)|{0,1}=e-(e/2)-1=(e-2)/2；