(2007•青岛)已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运
题目
(2007•青岛)已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y(cm
2),求y与t的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出相应的t值;不存在,说明理由;
(3)设PQ的长为x(cm),试确定y与x之间的关系式.
答案
(1)根据题意得AP=tcm,BQ=tcm,
△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°,
∴BP=(3-t)cm,
△PBQ中,BP=3-t,BQ=t,若△PBQ是直角三角形,则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°,
当∠BQP=90°时,BQ=
BP,
即t=
(3-t),t=1(秒),
当∠BPQ=90°时,BP=
BQ,
3-t=
t,t=2(秒),
答:当t=1秒或t=2秒时,△PBQ是直角三角形.
(2)过P作PM⊥BC于M,
△BPM中,sin∠B=
,
∴PM=PB•sin∠B=
(3-t),
∴S
△PBQ=
BQ•PM=
•t•
(3-t),
∴y=S
△ABC-S
△PBQ,
=
×3×(3×
)-
•t•
(3-t),
=
t
2-
t+
,
∴y与t的关系式为y=
t
2-
t+
,
假设存在某一时刻t,使得四边形APQC的面积是△ABC面积的
,
则S
四边形APQC=
S
△ABC,
∴
t
2-
t+
=
×
×3
2×
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程. 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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