圆O中AB是直径,C是圆O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中,∠DCE是直角,点D在线段AC上.

题目

圆O中AB是直径,C是圆O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中,∠DCE是直角,点D在线段AC上.
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明：MN=OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后,记为△D1CE1（图2）,若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明；若不是,说明理由．

答案

（1）证明：∵AB是直径,
∴∠BCA=90°,
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,
∴B、C、E三点共线；
（2）连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,如图,
∵CB=CA,CD=CE,
∴Rt△BCD≌Rt△ACE,
∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,
又∵M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,而O为AB的中点,
∴ON= BD,OM= AE,ON∥BD,AE∥OM；
∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,
∴MN= √2OM；
（3）成立．理由如下：
和（2）一样,易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1,同里可证BD1⊥AE1,△ON1M1为等腰直角三角形,
从而有M1N1= √2OM1．