设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图像与Y轴交点为（0,1）,在X轴上截得的线段长为2√2,求f(x)

题目

设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图像与Y轴交点为（0,1）,在X轴上截得的线段长为2√2,求f(x)

答案

设二次函数解析式为f(x）=ax^2+bx+c,
因为过点（0,1）.把其代入函数解析式得 c=1
又因为f(x-2)=f(-x-2).
故函数的对称轴为x=-2
即x=-b/2a=-2
故b=4a
所以函数解析式为f(x)=ax^2+4ax+1
又因为在x轴截得线段长为2倍根号2
设ax^2+4ax+1=0的两个根为x1和x2
由韦达定理得 x1+x2=-4 x1*x2=1/a 故(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2
即（2倍根号2)^2=16-4/a
解得a=0.5
所以解析式为f(x)=0.5x^2+2x+1