已知抛物线的对称轴为x=2,其图象与x轴交于A,B,与y轴交于C,点C到原点的距离为4,S三角形ABC=12,求二次函数表达式.

题目

已知抛物线的对称轴为x=2,其图象与x轴交于A,B,与y轴交于C,点C到原点的距离为4,S三角形ABC=12,求二次函数表达式.

答案

∵点C到原点的距离为4,
∴点C的坐标为（0,4）或（0,-4）
S三角形ABC=12,即1/2×OC×AB=12,而OC=4,∴AB=6.
∵抛物线的对称轴为x=2,其图象与x轴交于A,B.
∴AB关于x=2对称,
∴A(-1,0) B(5,0)
设此二次函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2) (交点式,也可设一般式）
则y=a(x+1)(x-5)
将点C的坐标为（0,4）代入,得
a(0+1)(0-5)=4
∴a=-4/5.∴y=-4/5（x+1）（x-5）
即此二次函数表达式为y=-4/5x²+16/5x+4.
将点C的坐标为（0,-4）代入,得
a(0+1)(0-5)=-4
∴a=4/5.∴y=4/5（x+1）（x-5）
即此二次函数表达式为y=4/5x²-16/5x-4.
∴此二次函数表达式为y=-4/5x²+16/5x+4或y=4/5x²-16/5x-4.