如图，正方形ABCD中，E是AD边上一点，且BE=CE，BE与对角线AC交于点F，连接DF，交EC于点G． （1）求证：∠ABF=∠ADF； （2）求证：DF⊥EC．

题目

如图，正方形ABCD中，E是AD边上一点，且BE=CE，BE与对角线AC交于点F，连接DF，交EC于点G．
（1）求证：∠ABF=∠ADF；
（2）求证：DF⊥EC．

答案

证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∠BAC=∠DAC，AB=AD，
又∵AF=AF，
∴△DAF≌△BAF，
∴∠ADF=∠ABF；
（2）Rt△ABE和Rt△CDE中，
BE=CE，AB=CD，
Rt△ABE≌Rt△CDE，
∠AEB=∠DEC，
由（1）知，
∠ABE=∠ADF，
∠ABE+∠AEB=90°，
∠ADF+∠DEC=90°，
∠DGE=180°-90°=90°，
DF⊥EC．